定义Slippage Ratio

首先，定义x，y为流动性池子中两种（稳定）币的数量（如：USDc和WBTC）。
其交易价格：
$$P_{trade}=-\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
当$\Delta x$足够小，即趋于0时，可以得到0 slippage时的价格，也就是DEX的“当前报价”：
$$P_{zero\ slippage}= -\frac{d y}{d x}$$
让$\pi$作为外部市场价格：
$$-\frac{d y}{d x}=\pi$$
现在就可以开始计算了。
先假设一个AMM协议的xy关系为：
$$y=f(x)$$
优先通过泰勒公式将其展开：
$$y=f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\dots$$
$$\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 $$

这里只需要展开到二次导就足够了，同时忽略了冗余项。
所以，现在可以得出：
$$P_{trade}=-\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \approx -\frac{f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2-f(x_0)}{x_1-x_0}$$
$$=-\frac{f'(x_0){\Delta x}+\frac{1}{2}f''(x_0){\Delta x}^2}{\Delta x}=-(f'(x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0){\Delta x})$$
我们定义Slippage：
$$Slippage \equiv \frac{P_{trade}}{P_{zero\ slippage}} -1=\frac{\frac{\Delta y}{\Delta x}}{{\pi}_0}$$
$$=\frac{f'(x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0){\Delta x}}{f'(x_0)}-1=\frac{1}{2}·\frac{f''(x_0)}{f'(x_0)}·\Delta x$$
一般情况下，Slippage跟交易大小与流动性池子的大小的比值呈现相关性变化，也就是：
$$Trade\ Size\ Percentage \equiv \frac{Trade\ Size}{Liquidity\ Pool\ Size}=\frac{{\pi}_0 \Delta x}{y_0+{\pi}_0 x_0}$$
由此，我们可以定义滑点比率(Slippage Ratio)：
$$Slippage\ Ratio \equiv \frac{Slippage}{Trade\ Size\ Percentage}=\frac{\frac{1}{2}·\frac{f''(x_0)}{f'(x_0)}·\Delta x}{\frac{{\pi}_0 \Delta x}{y_0+{\pi}_0 x_0}}$$
$$=\frac{1}{2}·\frac{y_0+{\pi}_0 x_0}{{\pi}_0}·\frac{f''(x_0)}{f'(x_0)}=\frac{1}{2} (\frac{y_0}{{\pi}_0}+x_0) \frac{f''(x_0)}{f'(x_0)}$$

CPAMM protocol：uniswap

先来计算一下uniswap的滑点比率
根据前面部分的内容，CPAMM的曲线为：
$$xy=k$$
优先求出后续需要用到的$y'\ \pi\ y''$：
$$xy'+y=0$$
所以
$$\pi=-y'=\frac{y}{x}$$
从这里可以看出，市价就等于两种币数量的比值，但值得注意的是，这仅仅是因为常数积具有的特性，对于其他AMM协议来说，并不具有普适性。
$$y''=-\frac{2y'}{x}$$
此时，可以根据前面一部分推导的滑点比率公式计算：
$$Slippage\ Ratio = \frac{1}{2} (\frac{y_0}{{\pi}_0}+x_0) \frac{f''(x_0)}{f'(x_0)}=\frac{1}{2} (\frac{y_0}{{\pi}_0}+x_0) \frac{\frac{2y'}{x_0}}{y'}=\frac{y_0}{{\pi}_0 x_0}+1$$
注意，根据之前的公式。
$${\pi}_0=-y'=\frac{y_0}{x_0}$$
所以：
$$Slippage\ Ratio = 2$$
也就是说，对于交易是流动性池子的1%时，其滑点约等于2%(实际的滑点是2.04%)
最后，还可以计算uniswap的市值权重为：
$$w=\frac{{\pi}_0 x_0}{y_0+{\pi}_0 x_0}=\frac{1}{\frac{y_0}{{\pi}_0 x_0}+1}=\frac{1}{\frac{{\pi}_0}{{\pi}_0}+1}=\frac{1}{2}$$
现在，可以总结出以下属性：
市场价等于两种币的数量之比
滑点比率恒等于2
市值权重维持一个常数

The StableSwap Invariant:curve.fi